已知函數(shù)f(x)=ax-
b
x
-2lnx,f(1)=0

(1)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0,且an+1=f′(
1
an-n+1
)-n2+1
,已知a1=4,求證:an≥2n+2;
(3)在(2)的條件下,試比較
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+an
2
5
的大小,并說明你的理由.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),在(0,+∞)內(nèi)f′(x)恒大于0或恒小于0,轉(zhuǎn)化為恒成立問題去解決.
(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,f'(1)=0,求出a,確定f(x),f′(x)繼而得出an+1的表達(dá)式,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(3)在(2)的條件下,將各項(xiàng)適當(dāng)放縮,能得出
1
1+an
1
2n-1
1
1+a1
(n≥2)
,再結(jié)合等比數(shù)列求和公式化簡不等式左邊,去與
2
5
比較.
解答:解:(1)f(1)=a-b=0?a=b,
f(x)=ax-
a
x
-2lnx
,
f′(x)=a+
a
x2
-
2
x

要使函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)函數(shù),則在(0,+∞)內(nèi)f′(x)恒大于0或恒小于0,
當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=-
2
x
<0
在(0,+∞)內(nèi)恒成立;
當(dāng)a>0時(shí),要使f′(x)=a(
1
x
-
1
a
)2+a-
1
a
>0
恒成立,則a-
1
a
>0
,解得a>1,
當(dāng)a<0時(shí),要使f′(x)=a(
1
x
-
1
a
)2+a-
1
a
<0
恒成立,則a-
1
a
<0
,解得a<-1,
所以a的取值范圍為a>1或a<-1或a=0.
(2)根據(jù)題意得:f'(1)=0,即a+a-2=0,得a=1,∴f′(x)=(
1
x
-1)2
,
于是an+1=f′(
1
an-n+1
)=(an-n)2-n2+1=
a
2
n
-2nan+1
,
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
當(dāng)n=1時(shí),a1=4≥2×1+2,不等式成立;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式ak≥2k+2成立,即ak-2k≥2也成立,
當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=ak(ak-2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2,
所以當(dāng)n=k+1,不等式也成立,
綜上得對所有n∈N*時(shí)5,都有an≥2n+2.
(3)由(2)得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…an+1≥2(an-1+1),
累乘得:an+1≥2n-1(a1+1),則
1
1+an
1
2n-1
1
1+a1
(n≥2)
,
所以
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
1
1+a1
(1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)=
2
5
(1-
1
2n
)<
2
5
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,數(shù)學(xué)歸納法,等比數(shù)列求和,考查分析解決、轉(zhuǎn)化、放縮,計(jì)算等能力與方法.是難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=( 。
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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