已知橢圓C：兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為2，且其離心率為．
（Ⅰ） 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 若F為橢圓C的右焦點(diǎn)，經(jīng)過橢圓的上頂點(diǎn)B的直線與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為A，且滿
足，求△ABF外接圓的方程．
【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得：，∴，進(jìn)而求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），設(shè)A（x，y），則根據(jù)題意可得：x-（y-1）=2，即x=1+y，再聯(lián)立橢圓的方程可得：A（0，-1）或，進(jìn)而根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)求出元得方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：，…（1分）
∴，
∴，…（4分）
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ．…（5分）
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），…（6分）
設(shè)A（x，y），則，
∵，
∴x-（y-1）=2，即x=1+y，…（8分）
代入，
得：或，
即A（0，-1）或．…（10分）
當(dāng)A為（0，-1）時(shí)，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圓是以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，該外接圓的方程為x2+y2=1；                 …（12分）
當(dāng)A為時(shí)，kBF=-1，kAF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圓是以線段BA為直徑的圓．
由線段BA的中點(diǎn)以及可得△ABF的外接圓的方程為．…（14分）
綜上所述，△ABF的外接圓的方程為x2+y2=1或．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的方程中a，b，c之間的關(guān)系，以及圓的有關(guān)性質(zhì)與向量的數(shù)量積表示．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-2
2
，0)，F2(2
2
，0)，P為橢圓上一點(diǎn)，滿足∠F1PF2=60°．
（1）當(dāng)直線l過F1與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且△MF2N的周長(zhǎng)為12時(shí)，求C的方程；
（2）求△F1PF2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”． 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)M1滿足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）試探究y軸上是否存在點(diǎn)P（0，m）（m＜0），使得過點(diǎn)P作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且l截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為2
2
．若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-1，0）、F2（1，0），離心率e=
12
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N（M、N不是左、右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)A．求證：直線l過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），拋物線E以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)．直線l過點(diǎn)F2，且交y軸于D點(diǎn)，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)若F1B⊥F2B，則|AF2|-|BF2|=
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•潮州二模）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)A(1，
2
2
)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)B（2，0），設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，求
PF
1•
PB
的取值范圍．

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