Question

例1．在△ABC內(nèi)，求一點(diǎn)P，使

AP2

+

BP2

+

CP2

最�。�

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，可構(gòu)設(shè)兩個(gè)已知的基本向量

CA

=

a

，

CB

=

b

，再把AP²+BP²+CP²表示成關(guān)于變化向量

CP

=

x

的函數(shù)，最后，求出該函數(shù)的最小值．

解答：解：如圖，設(shè)

CA

=

a

，

CB

=

b

，

CP

=

x

，則

AP

=

x

-

a

，

BP

=

x

-

b

，∴AP²+BP²+CP²=|

x

-

a

|²+|

x

-

b

|²+

x

²=3

x

²-2（

a

+

b

）•

x

+

a

²+

b

²
=3[

x

-

1

3

（

a

+

b

）]²+

a

²+

b

²-

1

3

（

a

+

b

）²
根據(jù)向量運(yùn)算的意義，知

x

=

1

3

（

a

+

b

）時(shí)，AP²+BP²+CP²有最小值．設(shè)M為AB的中點(diǎn)，易知

a

+

b

=2

CM

，當(dāng)

x

=

1

3

（

a

+

b

）時(shí)，

CP

=

2

3

CM

，也即P為△ABC的重心時(shí)，AP²+BP²+CP²的值最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算．屬中檔題．