Question

（滿分13分）如圖所示，正四棱錐P－ABCD中，O為底面正方形的中心，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為．

（1）求側面PAD與底面ABCD所成的二面角的大�。�

（2）若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；

（3）問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）; （2）; （3）F是AD的4等分點，靠近A點的位置.

【解析】

試題分析：（1）取AD中點M，連接MO，PM，由正四棱錐的性質知∠PMO為所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝，設AB＝a，則AO＝a，PO＝a，MO=, tan∠PMO＝,∠PMO＝60°; （2）依題意連結AE，OE，則OE∥PD ，故∠OEA為異面直線PD與AE所成的角，由正四棱錐的性質易證OA⊥平面POB,故為直角三角形，OE＝PD＝＝a ∴tan∠AEO＝＝；（3）延長MO交BC于N，取PN中點G，連BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN為正三角形，易證MG⊥平面PBC，取MA的中點F,連EF,則四邊形MFEG為平行四邊形，從而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分點，靠近A點的位置.

試題解析：（1）取AD中點M，連接MO，PM，依條件可知AD⊥MO，AD⊥PO，則∠PMO為所求二面角P－AD－O的平面角 （2分）

∵PO⊥面ABCD，

∴∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝

設AB＝a，AO＝a，

∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，

tan∠PMO＝＝．

∴∠PMO＝60°． （4分）

（2）連接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA為異面直線PD與AE所成的角． （6分）

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．

又OE平面PBD， ∴ AO⊥OE．

∵OE＝PD＝＝a，

∴tan∠AEO＝＝． （8分）

（3）延長MO交BC于N，取PN中點G，連BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN

∴平面PMN⊥平面PBC． （10分）

又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN為正三角形．

∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC． （12分）

F是AD的4等分點，靠近A點的位置 （13分）

考點：立體幾何的綜合問題