已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程.

 

 

【答案】

解：設(shè)橢圓方程為

（Ⅰ）由已知得

∴所求橢圓方程為       .

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點，解得

又由韋達定理得

原點到直線的距離

.

令，        則   

                     當(dāng)且僅當(dāng)即時，                

                     此時.   所以，所求直線方程為

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
（3）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，且經(jīng)過點M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圓C的圓心與橢圓的右焦點重合，圓的半徑恰好等于橢圓的短半軸長，已知點A（x，y）為圓C上的一點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O為坐標(biāo)原點）的取值范圍；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓上點P(3
2
，4)到兩焦點的距離之和是12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，焦距為6
3
，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，坐標(biāo)原點O到過右焦點F且斜率為1的直線的距離為
2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過右焦點F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點，在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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