Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，且當(dāng)x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得在這兩點處的切線互相垂直？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）由函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+3cx（a，b，c∈R）的圖象關(guān)于原點對稱，可知函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，
所以b=0，則f（x）=ax³+3cx，f′（x）=3ax²+3c．
又當(dāng)x=1時，f（x）取極小值-

2

3

，
所以

3a+3c=0 a+3c=- 2 3

，解得a=

1

3

，c=-

1

3

．
所以a=

1

3

，b=0，c=-

1

3

；
（2）由（1）得f（x）=

1

3

x3-xf′（x）=x²-1
設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]
若存在兩點x₁，x₂，使得在這兩點處的切線互相垂直，則f′(x1)f′(x2)=-1
即(x1x2)2-(x12+x22)+2=0．
因為x₁，x₂∈[-1，1]，所以(x1x2)2-(x12+x22)+2＞0．
所以不存在兩點的切線互相垂直．