Question

12．如圖，AB是圓O的一條切線，切點(diǎn)為B，ADE，CFD，CGE都是圓O的割線，已知AC=AB．
（Ⅰ）證明：∠CEA=∠DCA；    
（Ⅱ）證明：FG∥AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用切線長(zhǎng)與割線長(zhǎng)的關(guān)系及AB=AC，證明△ACD∽△AEC，即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）利用成比例的線段證明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，從而兩直線平行．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB為切線，AE為割線，∴AB²=AE•AD，
又∵AB=AC，∴AC²=AE•AD，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
又∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴∠CEA=∠DCA； 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EAC=∠DAC，
∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC． 10分

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似，切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生推理證明和邏輯思維能力．