如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程．


解：(1) 設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(－c，0)，則由題意得

所以橢圓方程為＋＝1.

(2) 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M.當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，直線AB的方程為x＝0，與不過原點(diǎn)的條件不符，舍去．故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①

則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，

所以線段AB的中點(diǎn)為M.

因?yàn)镸在直線OP：y＝x上，所以，得m＝0(舍去)或k＝－.

此時(shí)方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則Δ＝3(12－m2)＞0，所以AB＝·|x1－x2|＝·，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d＝.設(shè)△ABP的面積為S，則S＝AB·d＝·.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，u(m)取到最大值．故當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，S取到最大值．綜上，所求直線l的方程為3x＋2y＋2－2＝0.


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則f(0)＝________．

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 已知α＝，回答下列問題．

(1) 寫出所有與α終邊相同的角；

(2) 寫出在(－4π，2π)內(nèi)與α終邊相同的角；

(3) 若角β與α終邊相同，則是第幾象限的角？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1) 求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


以雙曲線－＝1的中心為頂點(diǎn)，且以該雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是__________．

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已知橢圓＋y2＝1的左頂點(diǎn)為A，過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

(1) 當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2) 當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí)，直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


 已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為M(0，1)，兩條過M的動(dòng)弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1) 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求橢圓E的方程；

(2) 若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3) 對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a(a＞1)，動(dòng)直線AB是否經(jīng)過一定點(diǎn)？如果經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線l1：y＝x和l2：y＝－x 相切的圓，

(1) 求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(2) 是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：

① l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；

② l被圓N截得的弦長(zhǎng)為2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知橢圓的右焦點(diǎn)F，左、右準(zhǔn)線分別為l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分別與直線y＝x相交于A、B兩點(diǎn)．

(1) 若離心率為，求橢圓的方程；

(2) 當(dāng)<7時(shí)，求橢圓離心率的取值范圍．

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