已知橢圓E：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為M(0，1)，兩條過M的動(dòng)弦MA、MB滿足MA⊥MB.

(1) 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)到橢圓E的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求橢圓E的方程；

(2) 若Rt△MAB面積的最大值為，求a；

(3) 對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a(a＞1)，動(dòng)直線AB是否經(jīng)過一定點(diǎn)？如果經(jīng)過，求出定點(diǎn)坐標(biāo)(用a表示)；反之，說明理由．


解：(1) 由題，a2＝c2＋1，d＝≥2，當(dāng)c＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a2＝1＋1＝2，故橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2) 不妨設(shè)直線MA的斜率k>0，直線MA方程為y＝kx＋1，由

① 代入②整理得(a2k2＋1)x2＋2a2kx＝0，

由MA⊥MB知直線MB的斜率為－，

.

當(dāng)t＝時(shí)取“＝”，∵  t＝≥2，得a>＋1.而(S△MAB)max＝＝，故a＝3或a＝ (舍)．綜上a＝3.

(3) 由對(duì)稱性，若存在定點(diǎn)，則必在y軸上．

當(dāng)k＝1時(shí)，A，直線AB過定點(diǎn)Q.下面證明A、Q、B三點(diǎn)共線：

由kAQ＝kBQ知A、Q、B三點(diǎn)共線，即直線AB過定點(diǎn)Q.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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 已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根為sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．

(1) 求的值；

(2) 求m的值；

(3) 求方程的兩根及此時(shí)θ的值．

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如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2) 設(shè)x1＝2，x2＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))．

 

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　如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程．

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A(－4，0)、B(4，0)，動(dòng)點(diǎn)P與A、B連線的斜率之積為－.

(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2) 設(shè)點(diǎn)P的軌跡與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側(cè)，圓M被y軸截得的弦長(zhǎng)為r.

(ⅰ) 求圓M的方程；

(ⅱ) 當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線l與動(dòng)圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

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已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1) 當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)＝λ，求λ的最大值．

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拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是________．

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求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程．

(1) 過點(diǎn)(－3，2)；

(2) 焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上．

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 已知橢圓C：＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)M(－2，－1)，離心率為.過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．

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