Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處有最大值，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)最值點(diǎn)可確定，從而求得；代入的值驗(yàn)證后滿足題意，可得到結(jié)果；

（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解問題；分別在、和三種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的最值可確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（1）由題意得：定義域?yàn)?/span>，，

在處取得最大值，，解得：.

當(dāng)時(shí)，，，

，在上單調(diào)遞減，

又，則時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，滿足題意；

綜上所述：.

（2）令，，則與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，

①當(dāng)時(shí)即，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；

②當(dāng)時(shí), ，在上為減函數(shù)，

即函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，即至多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，

，即，又，

函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，令，即，

令，則

在上為增函數(shù)，又，

故存在，使得，即.

由以上可知：當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

，，

令，，

則，在上為增函數(shù)，

則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，

由以上可知：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).