精英家教網(wǎng)如圖，以正六邊形的一條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)F1、F2為焦點(diǎn)，過其余四個(gè)頂點(diǎn)作橢圓，則該橢圓的離心率為
 
．
分析：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則由題意可得2c=2．以線段F1F2所在的直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．則由正六邊形的性質(zhì)可得∠AOF1=120°，AF2=OF1=1=AO．△AOF1中，由余弦定理可得AF1 的值．再由橢圓的定義求得2a=AF1+AF2的值，由此求得離心率e=
2c
2a
 的值
解答：精英家教網(wǎng)解：設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則由題意可得2c=F1F2=2，c=1．
以線段F1F2所在的直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：
作AB垂直于x軸，B為垂足，則由正六邊形的性質(zhì)可得∠AOF1=120°，AF2=OF1=1=AO．
△AOF1中，由余弦定理可得 AF12=AO2+OF12-2AO•OF1•cos∠AOF1=1+1-2×cos120°=3，
∴AF1=
3
．
再由橢圓的定義可得 2a=AF1+AF2=
3
+1，故離心率e=
2c
2a
=
2
3
+1
=
3
-1，
故答案為
3
-1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，正六邊形的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f（n）表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)．
（1）試給出f（4），f（5）的值，并求f（n）的表達(dá)式（不要求證明）；
（2）證明：
1
f(1)
+
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＜
4
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f（n）表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)．則f（4）=
37
37
；f（n）=
3n2-3n+1
3n2-3n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖2為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f（n）表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)．則f（n）=
3n2-3n+1
3n2-3n+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年度新課標(biāo)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)單元測(cè)試12-理科-算法、復(fù)數(shù)、推理與證明 題型：解答題

 蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖． 其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以表示第幅圖的蜂巢總數(shù)．

（1） 試給出的值，并求的表達(dá)式（不要求證明）；

（2） 證明：．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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