Question

5．如圖，已知AE⊥平面CDE，四邊形ABCD為正方形，M，N分別是線段BE，DE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）若$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，求EC與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明出MN∥BD，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）先證明出CD⊥平面ADE，找到線與面所成的角，求出AD，再求得sin∠CED．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD，
∵M(jìn)，N分別是BE，DE的中點(diǎn)，
∴MN∥BD，
∵BD?平面ABCD，NM?平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵AE⊥平面EDC，AE⊥CD，
在正方形ABCD中，CD⊥AD，AD∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，
故∠CED即為所求角，
設(shè)AE=a，CE=2a，則AC=$\sqrt{5}$a，
∴CD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
在△CDE中，sin∠CED=$\frac{CD}{CE}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴EC與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行判定定理，線面所成的角．解決線面成角的問(wèn)題，關(guān)鍵是找到線面成角的平面角．