Question

記直線 x=π，y=π 與兩個坐標軸所圍成的區(qū)域內的點為（a，b），則函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點的概率為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  π

  4

  -

  1

  2

• C．

  π

  4

• D．1-

  π

  4

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點，利用根的判別式算出a²+b²≥π²．由此作出如圖所示直角坐標系，可得滿足條件的點（a，b）在正方形內圓外的部分，即如圖的陰影部分區(qū)域．由此利用面積計算公式和幾何概型公式加以計算，可得所求的概率．

解答：解：若函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點，
則△=（2a）²-4（π²-b²）≥0，即a²+b²≥π²．
在坐標軸上將a，b的取值范圍標出，如圖所示
當a、b滿足函數(shù)有零點時，點（a，b）位于正方形OABC內且在圓外的部分，即如圖的陰影部分區(qū)域．
∵正方形OABC面積為S₁=π²，扇形OAC面積為S₂=

1

4

π•OA2=

π3

4

，
∴陰影部分面積為S=S₁-S₂=π²（1-

π

4

），
因此可得函數(shù)f（x）=x²+2ax+π²-b²有零點的概率為：
P=

S

S1

=

π2(1- π 4 )

π2

=1-

π

4

．
故選：D

點評：本題給出二次函數(shù)有零點，求相應的概率，著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系、面積計算公式和幾何概型的計算等知識，屬于中檔題．