【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2﹣ax,其中a∈R.
(1)當a=0時,求函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程;
(2)若函數(shù)f(x)在定義域上有且僅有一個極值點,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若對任意x∈[1,+∞),f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當a=0,f(x)=lnx則f(1)=0

,則切線的斜率k=1,

所以函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=x﹣1


(2)解:f(x)=lnx+ax2﹣ax,x>0,則 ,

令t(x)=2ax2﹣ax+1,

①若a=0,則t(x)=2ax2﹣ax+1=1>0,

故f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上無極值點,

故a=0不符題意,舍去;

②若a<0, ,

該二次函數(shù)開口向下,對稱軸 ,

所以t(x)=0在(0,+∞)上有且僅有一根 ,故f'(x0)=0,

且當0<x<x0時,t(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增;

當x>x0時,t(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞減;

所以a<0時,函數(shù)f(x)在定義域上有且僅有一個極值點 ,符合題意;

③若a>0, ,該二次函數(shù)開口向上,對稱軸

(。┤ ,即0<a≤8,

故f'(x)≥0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上無極值點,

故0<a≤8不符題意,舍去;

(ⅱ)若 ,即a>8,又t(0)=1>0,

所以方程t(x)=0在(0,+∞)上有兩根 ,

故f'(x1)=f'(x2)=0,

且當0<x<x1時,t(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增;

當x1<x<x2時,t(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減;

當x>x2時,t(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增;

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有兩個不同的極值點,故a>8不符題意,舍去,

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a<0


(3)解:由(2)可知,

①當0≤a≤8時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

所以當x∈[1,+∞)時,f(x)≥f(1)=0,符合題意,

②當a<0時,t(1)=a+1,

(。┤魌(1)=a+1≤0,即a≤﹣1,函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,

故f(x)≤f(1)=0,不符題意,舍去,

(ⅱ)若t(1)=a+1>0,即﹣1<a<0,

故函數(shù)f(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減,

時,

(事實上,令φ(x)=lnx﹣x+1,x≥1,則 ,

函數(shù)φ(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,

所以φ(x)≤φ(1)=0,即lnx≤x﹣1對任意x∈[1,+∞)恒成立.)

所以存在 ,使得f(x)<0,故﹣1<a<0不符題意,舍去;

③當a>8時,t(1)=a+1>0,函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以當x∈[1,+∞)時,f(x)≥f(1)=0,符合題意,

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a≥0


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的切線的斜率,從而求出切線方程即可;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的極值點的個數(shù),求出a的范圍即可;(3)通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,從而判斷a的范圍即可.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

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