Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明，對任意x＞0及正整數(shù)n，有xⁿ+x^n-2+…+

1

xn-2

+

1

xn

≥n+1．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：驗證n=1，2時，結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，證明n=k+2時，不等式成立即可．

解答： 證明：1°當(dāng)n=1時，x＞0，原不等式左邊=x+

1

x

≥2，右邊=2，
所以左邊≥右邊，原不等式成立；
當(dāng)n=2時，x＞0，原不等式左邊=x²+1+

1

x2

≥2+1，右邊=3，
所以左邊≥右邊，原不等式成立；
2°假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即x^k+x^k-2+…+

1

xk-2

+

1

xk

≥k+1，
則當(dāng)n=k+2時，左邊=x^k+2+x^k+…+

1

xk-2

+

1

xk

+

1

xk+2

≥k+1+（x^k+2+

1

xk+2

）≥k+1+2=（k+2）+1，
∴n=k+2時，原不等式成立；
由1°、2°，可得對任意x＞0及正整數(shù)n，有xⁿ+x^n-2+…+

1

xn-2

+

1

xn

≥n+1．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．