Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+2xtanθ-1，x∈[-1，$\sqrt{3}$]，其中θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{6}$時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求θ的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調(diào)函數(shù)（在指定區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù)稱為該區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值和最小值即可；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出tanθ的范圍，求出θ的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)θ=-$\frac{π}{6}$時(shí)，
f（x）=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x-1=（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²-$\frac{4}{3}$．
∵x∈[-1，$\sqrt{3}$]，
∴當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，f（x）的最小值為-$\frac{4}{3}$，
當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ是關(guān)于x的二次函數(shù)，
它的圖象的對(duì)稱軸為x=-tanθ，
∵y=f（x）在區(qū)間[-1，$\sqrt{3}$]上是單調(diào)函數(shù)，
∴-tanθ≤-1，或-tanθ≥$\sqrt{3}$，即tanθ≥1，或tanθ≤-$\sqrt{3}$．
∵θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴θ的取值范圍是[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．