Question

AB為過拋物線焦點(diǎn)F的弦，P為AB中點(diǎn)，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，則下列命題：①以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相交；②MF⊥NF；③AQ⊥BQ；④QB∥MF；⑤A、O、N三點(diǎn)共線（O為原點(diǎn)），正確的是________．

Answer 1

②③④⑤
分析：根據(jù)拋物線的定義，可知AP+BP=AM+BN，從而，所以以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故可判斷①錯(cuò)，③對；由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，從而可判斷②④正確；
對于 ⑤，不妨設(shè)拋物線方程為y²=2px，直線AB：，從而可證明k_OA=k_ON，故可判斷．
解答：由題意，AP+BP=AM+BN
∴，∴以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故①錯(cuò)，③對；
由AP=AF可知∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，從而②④正確；
對于 ⑤，不妨設(shè)拋物線方程為y²=2px，直線AB：
聯(lián)立可得y²-2kpy-p²=0
設(shè)，，則
∴，
∵y₁y₂=-p²，∴k_OA=k_ON，故⑤正確
故答案為②③④⑤
點(diǎn)評：本題以拋物線為載體，考查拋物線過焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運(yùn)用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化，綜合性強(qiáng)．