Question

2．函數(shù)f（x）=$\frac{2sinx•cosx}{1+sinx+cosx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$]的最大值M，最小值為N，則M-N=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx，運用兩角和的正弦公式，化為一個角的正弦形式，結合條件和正弦函數(shù)的圖象和性質，可得t的范圍，再由兩邊平方，可得t的函數(shù)式，化簡后運用一次函數(shù)的單調性，即可得到所求最值之差．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
x∈（0，$\frac{π}{2}$]，可得x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
當x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{4}$時，t取得最大值$\sqrt{2}$，
當x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$即x=$\frac{π}{2}$時，t取得最小值1，
則t∈[1，$\sqrt{2}$]．
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，
可得2sinxcosx=t²-1，
函數(shù)y=g（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{1+t}$=t-1，
由g（t）在t∈[1，$\sqrt{2}$]遞增，可得g（t）的最小值為1-1=0，
最大值為$\sqrt{2}$-1．
即有M-N=$\sqrt{2}$-1-0=$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用換元法和三角函數(shù)的恒等變換公式，以及正弦函數(shù)的圖象和性質，同時考查一次函數(shù)的單調性的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．