Question

12．若曲線${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x=0$與曲線${C_2}：m{x^2}-xy+mx=0$有三個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\sqrt{3}）$
• B． $（-\sqrt{3}，0）∪（0，\sqrt{3}）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
• D． $（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，直線過定點（-1，0），當直線mx-y+m=0與圓相切時，根據(jù)圓心到直線的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，求出m的值，數(shù)形結(jié)合求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可知曲線C₁：x²+y²-2x=0表示一個圓，化為標準方程得：
（x-1）²+y²=1，所以圓心坐標為（1，0），半徑r=1；
${C_2}：m{x^2}-xy+mx=0$表示兩條直線x=0和mx-y+m=0，
由直線mx-y+m=0可知：此直線過定點（-1，0），
在平面直角坐標系中畫出圖象如圖所示：
當直線mx-y+m=0與圓相切時，
圓心到直線的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，
化簡得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則直線y-mx-m=0與圓相交時，m∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故選D．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．