Question

14．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，O為坐標原點，點M，N是雙曲線C上異于頂點的關(guān)于原點對稱的兩點，P是雙曲線C上任意一點，PM，PN的斜率都存在，則k_PM•k_PN的值為（　�。�

• A． $\frac{a^2}{b^2}$
• B． $\frac{b^2}{a^2}$
• C． $\frac{b^2}{c^2}$
• D． 以上答案都不對

Answer 1

分析 利用直線的離心公式，作差法，即可取得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，即k_PM•k_PN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

解答 解：由題意，設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（-x₁，-y₁）
∴k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$，
$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1$，②$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1$，①
∴②-①可得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
故k_PM•k_PN=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
故選B．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率公式，點差法的應用，屬于基礎(chǔ)題．