Question

【題目】已知數列{an}是等差數列，數列{bn}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和，a1＝b1＝1，S2＝.

(1)若b2是a1，a3的等差中項，求數列{an}與{bn}的通項公式；

(2)若an∈N＋，數列{}是公比為9的等比數列，求證：＋＋＋…＋＜.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，bn＝3n－1或an＝6－5n，bn＝(－4)n－1.（2）證明見解析。

【解析】

（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q.利用等比數列的性質求出d，q，再求出通項公式.（2）利用數列{ban}是公比為9的等比數列，求出d＝2，q＝3.再放縮成能利用裂項求和的方法即可.

(1)解：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q.

因為S2＝，所以a1＋a1＋d＝.

而a1＝b1＝1，則q(2＋d)＝12.①

因為b2是a1，a3的等差中項，

所以a1＋a3＝2b2，

即1＋1＋2d＝2q，

即1＋d＝q.②

聯(lián)立①②，

解得或

所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.

(2)證明：因為an∈N＋，

ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，

所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③

由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④

因為a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.

根據③④，知q＞1且q為正整數．

所以d可為0或1或2或4.但同時滿足③④兩個等式的只有d＝2，q＝3，

所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.

所以＝＜＝(n≥2)．

當n≥2時，

＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋

＝1＋

＝1＋＝－＜.

顯然，當n＝1時上式也成立．

故n∈N＋，＋＋…＋＜.