Question

10．若不等式$\sqrt{16-{x}^{2}}$≥-a²x的解區(qū)間長度為6，則實數(shù)a的值為±$\root{4}{3}$，及此不等式的解集為[-2，4]．

Answer 1

分析 由16-x²≥0，解得-4≤x≤4，討論當x=0時，當0＜x≤4，當-4≤x＜0時，兩邊平方，求得x的范圍，最后求并集，再由區(qū)間長度，解方程可得a，進而得到不等式的解集．

解答 解：不等式$\sqrt{16-{x}^{2}}$≥-a²x的解區(qū)間長度為6，
即有解集為閉區(qū)間，
由16-x²≥0，解得-4≤x≤4，
當x=0時，不等式即為4≥0成立；
當0＜x≤4，不等式右邊≤0，成立；
當-4≤x＜0時，不等式$\sqrt{16-{x}^{2}}$≥-a²x，兩邊平方即為
16-x²≥a⁴x²，即有x²≤$\frac{16}{1+{a}^{4}}$，
解得-$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$≤x≤$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$，
即有-$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$≤x＜0．
故不等式的解集為[-$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$，4]，
由題意可得4+$\frac{4}{\sqrt{1+{a}^{4}}}$=6，
解得a=±$\root{4}{3}$，
即有解集為[-2，4]．
故答案為：±$\root{4}{3}$，[-2，4]．

點評 本題考查不等式的解法，主要考查無理不等式的解法，注意定義域的運用，運用平方法和分類討論法是解題的關(guān)鍵．