Question

15．已知tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，α，β均為銳角，求sinα及α+2β的值．

Answer 1

分析 根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinα，cosα，然后利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵α，β均為銳角，
∴sin²α=$\frac{si{n}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=\frac{ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{\frac{1}{49}}{1+\frac{1}{49}}=\frac{1}{50}$，
則sinα=$\sqrt{\frac{1}{50}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
則cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∵sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴cosβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
則sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3}{5}$，cos2β=2cos²β-1=$\frac{4}{5}$，
則cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵sin2β∈（0，1），cos2β∈（0，1），
∴2β∈（0，$\frac{π}{2}$），
則α+2β∈（0，π），
則α+2β=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用兩角和差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．