已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+12-nan+1•an-(n+1)an2=0
①求{an}通項公式；
②若數(shù)列{bn}滿足bk=
(2k-1)an
k!(n-k)!
，求{bn}的前n項和Sn
③若數(shù)列{cn}滿足cn=
1
an
，其前n項和為Tn，證明Tn＜
43
24
．
分析：①對數(shù)列遞推式化簡，再疊乘，即可求{an}通項公式；
②確定數(shù)列通項，利用倒序相加法，即可求得結(jié)論；
③n≤2時，n結(jié)論成立；n≥4時，n!＞2 n，即可證得結(jié)論．
解答：①解：∵an+12-nan+1•an-(n+1)an2=0
∴（an+1+an）[an+1-（n+1）an]=0
∵{an}是正項數(shù)列，
∴an+1-（n+1）an=0
∴
an+1
an
=n+1
∴
a2
a1
=2，
a3
a2
=3，…，
an
an-1
=n
∵a1=1，∴疊乘可得an=n!；
②解：bk=
(2k-1)an
k!(n-k)!
=
(2k-1)•n!
k!(n-k)!
=（2k-1）•
C
k
n

∴Sn=
C
1
n
+3
C
2
n
+…+（2n-1）•
C
n
n
，
倒序可得Sn=（2n-1）•
C
n
n
+…+3
C
2
n
+
C
1
n

相加可得：2Sn=（2n-1）•
C
0
n
+（2n-2）•
C
1
n
+…+（2n-2）•
C
n-1
n
+（2n-1）•
C
n
n
=2+（2n-2）•2n
∴Sn=1+（n-1）•2n；
③證明：cn=
1
an
=
1
n!
，
n≤2時，n結(jié)論成立；n≥4時，∴n!＞2 n，
∴其前n項和為Tn＜1+
1
2
+
1
6
+
1
16
+…+
1
2n
=
43
24
-
1
2n
＜
43
24

即Tn＜
43
24
．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，綜合性強．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
（2）設(shè)bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　�。�
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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