Question

19．若函數(shù)f（x）=|lnx|+ax有且僅有兩個零點，則實數(shù)a=$-\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 由函數(shù)零點的定義列出方程并移項，作出函數(shù)f（x）和直線y=-ax的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求出對應的切線方程以及斜率，利用圖象即可求出答案．

解答 解：由f（x）=|lnx|+ax=0得，|lnx|=-ax，
作出函數(shù)f（x）和y=-ax的圖象如圖：
由圖得，當直線y=-ax與y=lnx在x＞1時相切時，
函數(shù)f（x）有兩個不相等的零點，
設切點P的坐標為（x₀，y₀），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切線方程為y=-ax，
∴-a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，解得x₀=e，則a=$-\frac{1}{e}$，
∴要使函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點，則a=$-\frac{1}{e}$，
故答案為：$-\frac{1}{e}$．

點評 本題考查函數(shù)的零點與圖象交點之間的轉(zhuǎn)化，導數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，正確轉(zhuǎn)化和畫出圖象是解決本題的關(guān)鍵．