Question

（理）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓W：

x2

6

+

y2

2

=1的左、右焦點(diǎn)，斜率為k（k＞0）直線L經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓W相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）如果線段F₂B的中點(diǎn)在y軸上，求直線l的方程；
（2）如果△ABF₁為直角三角形，求直線l的斜率k．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）橢圓W的左焦點(diǎn)F₁（-2，0），右焦點(diǎn)為F₂（2，0），由已知條件得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，±

6

3

）．由此能求出直線l的方程．
（2）由已知得∠BF₁A=90°，∠BAF₁=90°，或∠ABF₁=90°．當(dāng)∠BF₁A=90°時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，解得k=

23

23

；當(dāng)∠BAF₁=90°（與∠ABF₁=90°相同）時(shí)，則點(diǎn)A在以線段F₁F₂為直徑的圓x²+y²=4上，也在橢圓W上，
由

x2 6 + y2 2 =1 x2+y2=4

，解得A（

3

，1），或A（-

3

，1），或A（

3

，-1），或A（-

3

，-1），由此能求出直線l的斜率k=

23

23

，或k=2+

3

，或k=2-

3

時(shí)，△ABF₁為直角三角形．

解答： （1）解：橢圓W的左焦點(diǎn)F₁（-2，0），右焦點(diǎn)為F₂（2，0），
因?yàn)榫�段F₂B的中點(diǎn)在y軸上，
所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2，
因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓W上，
將x=-2代入橢圓W的方程，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，±

6

3

）．
所以直線AB（即l）的方程為x+2

6

y-2=0或x-2

6

-2=0．
（2）解：因?yàn)椤鰽BF₁為直角三角形，
所以∠BF₁A=90°，∠BAF₁=90°，或∠ABF₁=90°．
當(dāng)∠BF₁A=90°時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
所以△=（12k²）²-4（1+3k²）（12k²-6）＞0，
x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

．
由∠BF₁A=90°，得

F1A

•

F1B

=0，
因?yàn)?span id="dxrrjlv" class="MathJye">

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，
所以

F1A

•

F1B

=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=x1x2+2(x1+x2)+4+k2(x1-2)(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂+（2-2k²）（x₁+x₂）+4+4k²
=（1+k²）×

12k2-6

1+3k2

+（2-2k²）×

12k2

1+3k2

+4+4k²=0，
解得k=±

23

23

（舍負(fù)）．
當(dāng)∠BAF₁=90°（與∠ABF₁=90°相同）時(shí)，
則點(diǎn)A在以線段F₁F₂為直徑的圓x²+y²=4上，也在橢圓W上，
由

x2 6 + y2 2 =1 x2+y2=4

，
解得A（

3

，1），或A（-

3

，1），或A（

3

，-1），或A（-

3

，-1），
因?yàn)橹本�l的斜率為k＞0，
所以由兩點(diǎn)間斜率公式，得k=2+

3

，或k=2-

3

，
綜上，直線l的斜率k=

23

23

，或k=2+

3

，或k=2-

3

時(shí)，△ABF₁為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，考查直線的斜率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．