Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于兩個(gè)函數(shù)y=h（x）和y=r（x）及區(qū)間[m，n]，若存在x₁∈[m，n]，x₂∈[m，n]使得|h（x₁）-r（x₂）|＜1成立，則稱區(qū)間是函數(shù)y=h（x）和y=r（x）的“非疏遠(yuǎn)區(qū)間”，a＞0，g（x）=x²+ax+a²-a+7，若區(qū)間[0，4]是函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的“非疏遠(yuǎn)區(qū)間”，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得-（a+1）≠3即a≠-4，進(jìn)而分a＞-4與a＜-4，分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分別求出g_min（x）與f_max（x），再將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1，只要g_min（x）-f_max（x）＜1即可，從而解不等式，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x+a）e^3-x+（x²+ax-2a-3）（-1）e^3-x
=[-x²+（2-a）x+3a+3]e^3-x=-[x²+（a-2）x-3（a+1）]e^3-x
=-（x-3）[x+（a+1）]e^3-x…（3分）
∵x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)
∴-（a+1）≠3即a≠-4
（i）當(dāng)-（a+1）＜3即a＞-4時(shí)
當(dāng)x∈（-∞，-a-1]和[3，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（-a-1，3）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．…（5分）
（ii）當(dāng)-（a+1）＞3即a＜-4時(shí)
當(dāng)x∈（-∞，3]和[-a-1，+∞）時(shí)，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（3，-a-1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．…（7分）
（2）∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴當(dāng)x∈[0，3]時(shí)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[3，4]時(shí)f（x）單調(diào)遞減
∴當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f_max（x）=f（3）=a+6，
∵g′（x）=2x+2a，
∴g（x）在x∈[0，4]時(shí)是增函數(shù)，
∴g_min（x）=g（0）=a²-a+7，
又∵a²-a+7-a-6=（a-1）²≥0，
∴g_min（x）≥f_max（x），
∴當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，g（x）≥f（x）恒成立．
∴若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1
只要g_min（x）-f_max（x）＜1即可，
即a²-2a+1＜1，解得：0＜a＜2，
∴a的范圍是（0，2）．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)的極值為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力