Question

設(shè)對任意的n∈N^*，a_n=

n

3

π-

π

12

，b_n=sina_n•sina_n+2，c_n=b_nxⁿ（x∈R）
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=

n

3

π-

π

12

得到a_n+3，代入

bn+1

bn

可得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為1；
（2）對x分類求解數(shù)列{c_n}的前n項和S_n，當x=0時，數(shù)列{c_n}為常數(shù)列0，0，0，…；當x=1時，數(shù)列{c_n}，為非0常數(shù)列；當x≠0且x≠1時，由等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答： （1）證明：∵a_n=

n

3

π-

π

12

，
∴an+3=

(n+3)π

3

-

π

12

=

nπ

3

-

π

12

+π，
∴sinan+3=sin(

nπ

3

-

π

12

+π)=sin(

nπ

3

-

π

12

)=sinan，
又b_n=sina_n•sina_n+2，
∴b₁=sina₁•sina₃=sin

π

4

•sin

11π

12

=

3 -1

4

．

bn+1

bn

=

sinan+1•sinan+3

sinan•sinan+2

=

sinan+3

sinan

=1．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為1．
∴bn=

3 -1

4

；
（2）解：由c_n=b_nxⁿ=

3 -1

4

xn，
當x=0時，c_n=0，
∴S_n=0；
當x=1時，cn=

3 -1

4

，
∴Sn=

3 -1

4

n；
當x≠0且x≠1時，{c_n}為等比數(shù)列，且公比q=x，
∴Sn=

3 -1

4

•

x(1-xn)

1-x

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查了等比數(shù)列的確定，考查了等比數(shù)列的前n項和公式，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．