Question

設(shè)定義在（1，e）上函數(shù)f（x）=

x-lnx+a

（a∈R）．若曲線y=1+cosx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[-1，2+ln2]
• B、（0，2+ln2]
• C、[-1，e²-e+1）
• D、（0，e²-e+1）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：曲線y=1+cosx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，可知y≤2，由x-lnx+a≥0（x∈1，e））恒成立，可求得a≥-1；①
再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f（x）=

x-lnx+a

（a∈R）在[0，2]上單調(diào)遞增，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性可以證明f（y₀）=y₀．
令函數(shù)f（x）=

x-lnx+a

（a∈R），化為a=x²-x+lnx（x∈（0，2]），令g（x）=x²-x+lnx（x∈（0，2]），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出a≤2+ln2，②
由①②即得答案．

解答： 解：曲線y=1+cosx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，可知y≤2，
∵f（x）=

x-lnx+a

（x∈（1，e）），
∴x-lnx+a≥0（x∈1，e））恒成立，
∴a≥lnx-x（x∈1，e））恒成立，
令h（x）=lnx-x（x∈（1，e））恒成立，
∵h′（x）=

1

x

-1＜0，故h（x）=lnx-x在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞減，雖然無最大值，但其值無限接近h（1）=-1，
∴a≥-1；①
又f′（x）=

1

2

×

1- 1 x

x-lnx+a

=

x-1

2x x-lnx+a

＞0，
∴函數(shù)f（x）=

x-lnx+a

在（1，2]上單調(diào)遞增．
下面證明f（y₀）=y₀．
假設(shè)f（y₀）=c＞y₀，則f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不滿足f（f（y₀））=y₀．
同理假設(shè)f（y₀）=c＜y₀，則不滿足f（f（y₀））=y₀．
綜上可得：f（y₀）=y₀．
∵令函數(shù)f（x）=

x-lnx+a

=x（x∈（1，2]），化為：a=x²-x+lnx（x∈（1，2]），
令g（x）=x²-x+lnx（x∈（1，2]）．
g′（x）=2x-1+

1

x

=

2x2-x+1

x

＞0恒成立，∴函數(shù)g（x）在x∈（1，2]單調(diào)遞增．
∴g（x）≤g（2）=2+ln2，即a≤2+ln2，②
∴a的取值范圍是[-1，2+ln2]．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，突出構(gòu)造函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想與邏輯思維、抽象思維、創(chuàng)新思維的綜合考查，屬于難題．