Question

如圖（1），正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點(diǎn)E₁，F(xiàn)₁分別是邊A₁B₁、C₁D₁的中點(diǎn)．沿平面BCF₁E₁將正方體切割成左右兩個幾何體，再將右邊的幾何體補(bǔ)到左邊，形成如圖（2）的幾何體．
（1）判斷直線A₁F₁與直線EC是否平行，并加于證明；
（2）求直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）假設(shè)直線A₁F₁∥EC，過F₁作CD的垂線，垂足為N，利用正方體的性質(zhì)得到A₁F₁∥AN，得到AN∥EC，而AN與EC相交，得到矛盾；
（Ⅱ）連接AE₁，過A作BE₁的垂線，垂足為G，得到∠AE₁G是直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角，計(jì)算即可．

解答： 解：（Ⅰ）直線A₁F₁與直線EC平行；
證明：假設(shè)直線A₁F₁∥EC，過F₁，作CD的垂線，垂足為N，
因?yàn)樯舷碌酌嫫叫校�所以則A₁F₁∥AN，所以AN∥EC，與A_N與EC相交矛盾，
所以假設(shè)不成立，即直線A₁F₁與直線EC不平行；
（Ⅱ）連接AE₁，因?yàn)辄c(diǎn)E₁，F(xiàn)₁分別是邊A₁B₁C₁D₁的中點(diǎn)，
AE₁∥FD₁，
過A作BE₁的垂線，垂足為G，因?yàn)閹缀误w是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，
所以平面BCF₁E₁⊥平面ABE₁A₁，
所以AG⊥平面平面BCF₁E₁，
所以∠AE₁G是直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角，
因?yàn)檎�方體棱長為2，所以AE₁=BE₁=

5

，AG=

2×2

5

，
所以sin∠AE₁G=

AG

AE1

=

4 5 5

5

=

4

5

，
所以直線FD₁與平面BCF₁E₁所成角的正弦值

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系以及直線與平面所成的角的求法；關(guān)鍵是將空間角轉(zhuǎn)為平面角．