Question

有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最��？

Answer 1

答案：
解析：

探究：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)�，�?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置． 　　解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，如圖所示，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則 　　∵BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝，又設(shè)總水管費(fèi)用為y元，依題意有 　　y＝3a(50－x)＋(0＜x＜50)． 　　＝－3a＋． 　　令＝0，得＝3a(a≠0)． 　　解得x＝30． 　　在(0，50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，函數(shù)在x＝30(km)處取得最小值，此時(shí)，AC＝50－x＝20(km)． 　　∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省． 　　解法二：設(shè)∠BCD＝，如圖所示，則 　　BC＝，CD＝40cot()． 　　∴AC＝50－CD＝50－40cot 　　設(shè)總的水管費(fèi)用為f()，依題意，有 　　f()＝3a(50－40cot)＋5a·． 　�。�150a＋40a． 　　∴()＝40a． 　　令()＝0，得cos＝． 　　根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)cos＝時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí) 　　sin＝，∴cot＝，∴AC＝50－40cot＝20(km)，即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最�。�