Question

8．若函數(shù)y=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．若值域?yàn)镽呢？

Answer 1

分析 依題意，令g（x）=x²+（k+2）x+$\frac{5}{4}$，利用g（x）＞0恒成立即可求得定義域?yàn)镽時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，
再令（0，+∞）⊆g（x）的值域．可得值域?yàn)镽時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)y=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]的定義域?yàn)镽，
令g（x）=ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$，
則g（x）＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a＜0\end{array}\right.$
解得a∈（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），
若函數(shù)y=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]的值域?yàn)镽，
則（0，+∞）⊆g（x）的值域．
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a≥0\end{array}\right.$，或a=0
解得a∈[0，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，+∞），

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，著重考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，考查△的應(yīng)用，屬于中檔題．