18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，直線PF1與圓x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，則該雙曲線的離心率e是$\frac{5}{3}$．

分析 設(shè)直線PF1與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)M，取PF1的中點(diǎn)N，連接NF2，由切線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一，運(yùn)用中位線定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由雙曲線的定義和a，b，c的關(guān)系及離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)直線PF1與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)M，
則|OM|=a，OM⊥PF1，
取PF1的中點(diǎn)N，連接NF2，
由于|PF2|=|F1F2|=2c，則NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，
由|NF2|=2|OM|=2a，
則|NP|=2b，
即有|PF1|=4b，
由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b2=（c+a）2，即4（c2-a2）=（c+a）2，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
則e=$\frac{5}{3}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，運(yùn)用中位線定理和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．

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