Question

圓內(nèi)接四邊形判定定理的證明，推導(dǎo)出與圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理相矛盾的結(jié)果，體現(xiàn)了用反證法證明幾何命題的基本思路.反證法是證明問(wèn)題的有效方法，那么與正面證明相比較，反證法有什么特點(diǎn)？它證明問(wèn)題的步驟怎樣？它有什么優(yōu)點(diǎn)？

Answer 1

思路:反證法是一種間接證法，它先是提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定原假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法.

探究:反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是不都是；至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)至多有(n-1)個(gè)；至多有一個(gè)至少有兩個(gè)；唯一至少有兩個(gè).

    歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木.推理必須嚴(yán)謹(jǐn).導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾，與已知的公理、定義、定理、公式矛盾，與反設(shè)矛盾，自相矛盾.

    反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不止一種)，如在上述定理證明中，假設(shè)點(diǎn)D不在圓上，則有點(diǎn)D在圓外和點(diǎn)D在圓內(nèi)兩種情況，必須一一證出這兩種情況都不成立后，才能肯定點(diǎn)D在圓上.

    用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論.

對(duì)于一些從正面難以說(shuō)明的問(wèn)題，反證法往往有著出奇制勝的作用.