Question

【題目】已知函數(shù)，其中， ， 是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，證明： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點情況分類討論：當(dāng)時，僅有一個零點1；當(dāng)時，兩個相同的零點；當(dāng)及時，兩個不同的零點，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定單調(diào)性，（2）先等價轉(zhuǎn)化所證不等式： ①且②，然后分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值： 的最小值為 ， 的最小值為

試題解析：（Ⅰ）

（1）當(dāng)時， ，當(dāng)， ；當(dāng)， ；

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時，令，得，

由得，由得或，

所以在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)時，令， ，故在上遞增.

（4）當(dāng)時，令，得，

由得，由得或，

所以在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時， 在上遞增.

當(dāng)時， 在， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ） ①且②

先證①：令，則，

當(dāng)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)， ， 單調(diào)遞增；

所以 ，故①成立！

再證②：由（Ⅰ），當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以 ，故②成立！

綜上， 恒成立.