Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n-n=2（a_n-2），（n∈N^*）
（1）證明：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列．
（2）若b_n=a_n•log₂（a_n-1），數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可得a_n，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b_n，利用分組求和和錯(cuò)位相減法求和即可．

解答 解：（1）證明：∵S_n-n=2（a_n-2），n≥2時(shí)，S_n-1-（n-1）=2（a_n-1-2）
兩式相減 a_n-1=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1∴a_n-1=2（a_n-1-1）
∴$\frac{{{a_n}-1}}{{{a_{n-1}}-1}}=2$（常數(shù)）                        
又n=1時(shí)，a₁-1=2（a₁-2）得 a₁=3，a₁-1=2
所以數(shù)列{a_n-1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）${a_n}-1=2×{2^{n-1}}={2^n}$
∴${a_n}={2^n}+1$
又  b_n=a_n•log₂（a_n-1）
∴${b_n}=n（{2^n}+1）$
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
設(shè)${A_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…（n-1）×{2^{n-1}}+n×{2^n}$
$2{A_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}$
兩式相減$-{A_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}$
∴${A_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$，
又 $1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${T_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2+\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系，分組求和和錯(cuò)位相減法求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題