Question

（2013•徐州三模）幾何證明選講：如圖，已知圓A，圓B都經(jīng)過點C，BC是圓A的切線，圓B交AB于點D，連結(jié)CD并延長交圓A于點E，連結(jié)AE．求證DE•DC=2AD•DB．

Answer 1

分析：利用圓的切線性質(zhì)即可得出AC⊥BC，再利用AC=AE，BC=BD，可得∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，從而得出∠EAB=90°．延長DB交⊙B于點F，連接FC，則DF=2DB，∠DCF=90°，可得∠E=∠F．
于是Rt△ADE∽Rt△CDF，利用相似三角形的性質(zhì)即可得出．

解答：證明：∵BC是⊙A的切線，∴AC⊥BC，
∵∠ACD+∠BCD=90°，AC=AE，BC=BD，
∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，
∵∠ADE=∠BDC，∴∠E+∠ADE=90°，
∴AE⊥AB．
延長DB交⊙B于點F，連接FC，則DF=2DB，∠DCF=90°，
∴∠ACD=∠F，∴∠E=∠F，∴Rt△ADE∽Rt△CDF，
∴

AD

CD

=

DE

DF

，∴DE•DC=AD•DF，
∵DF=2DB，
∴DE•DC=2AD•DB．

點評：熟練掌握圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．