Question

12．已知正三棱錐底面的邊長是$\frac{15}{2}$，高與側棱的夾角為60°，求它的側面積和表面積．

Answer 1

分析 由已知條件求出正三棱錐的高、斜高，由此能求出它的側面積和表面積．

解答 解：如圖，∵正三棱錐S-ABC底面△ABC的邊長是$\frac{15}{2}$，高SO與側棱SA的夾角為60°，
∴∠ASO=60°，AO=$\frac{2}{3}\sqrt{（\frac{15}{2}）^{2}-（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴SA=5，SO=$\frac{5}{2}$，OD=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，SD=$\sqrt{（\frac{5\sqrt{3}}{4}）^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$，
∴它的側面積S_側=3×（$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{4}$）=$\frac{225\sqrt{7}}{16}$．
它的表面積S_表=S_側+S_底
=$\frac{225\sqrt{7}}{16}$+$\frac{1}{2}×\frac{15}{2}×\frac{15}{2}×sin60°$
=$\frac{225\sqrt{7}+225\sqrt{3}}{16}$．

點評 本題考查正三棱錐的側面積和表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正三棱錐的結構特征的合理運用．