【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)已知點(diǎn),曲線在點(diǎn) 處的切線與直線交于點(diǎn),求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí)的值,并求出面積的最小值.
【答案】(1)單調(diào)遞增(2)時(shí),的面積有最小值1.
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào),即得函數(shù)的單調(diào)性;(2)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程,與聯(lián)立得點(diǎn),再根據(jù)三角形面積公式得 ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,即得最小值.
試題解析:解:(Ⅰ)依題意,.
令,故,令,解得,
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故,故,即,
故函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)依題意,切線的斜率為,
由此得切線的方程為,
令,得 ,
所以 ,.
設(shè),.
則 ,
令,得或.
,的變化情況如下表:
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,即時(shí),的面積有最小值1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè),且有兩個(gè)極值,其中,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的極小值為,其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),如圖所示.
(Ⅰ)求的解析式.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+lg +x)的定義域是R.
(1)判斷f(x)在R上的單調(diào)性,并證明;
(2)若不等式f(m3x)+f(3x﹣9x﹣4)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在兩條直線,都是曲線的切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,定圓C的半徑為4,A為圓C上的一個(gè)定點(diǎn),B為圓C上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A,B,C不共線,且 對(duì)任意的t∈(0,+∞)恒成立,則 = .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱錐S﹣ABC中,SO⊥平面ABC,側(cè)面SAB與SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn),求二面角A﹣SC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且x>1時(shí),f(x)>0.
(1)求f( )的值;
(2)判斷y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并給出你的證明;
(3)解不等式f(x2)>f(8x﹣6)﹣1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】水是地球上寶貴的資源,由于價(jià)格比較便宜在很多不缺水的城市居民經(jīng)常無(wú)節(jié)制的使用水資源造成嚴(yán)重的資源浪費(fèi).某市政府為了提倡低碳環(huán)保的生活理念鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照,,,…,分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)若全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬(wàn),試估計(jì)全市有多少居民?并說(shuō)明理由;
(2)若該市政府?dāng)M采取分層抽樣的方法在用水量噸數(shù)為和之間選取7戶居民作為議價(jià)水費(fèi)價(jià)格聽證會(huì)的代表,并決定會(huì)后從這7戶家庭中按抽簽方式選出4戶頒發(fā)“低碳環(huán)保家庭”獎(jiǎng),設(shè)為用水量噸數(shù)在中的獲獎(jiǎng)的家庭數(shù),為用水量噸數(shù)在中的獲獎(jiǎng)家庭數(shù),記隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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