已知a>0,bR,函數(shù)

(Ⅰ)證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí),

(ⅰ)函數(shù)的最大值為|2a-b|﹢a;

(ⅱ) +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤≤1對(duì)x[0,1]恒成立,求a+b的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ) 見解析;(Ⅱ)

【解析】本題主要考察不等式,導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,線性規(guī)劃等知識(shí)點(diǎn)及綜合運(yùn)用能力。

(Ⅰ)

(ⅰ)

當(dāng)b≤0時(shí),>0在0≤x≤1上恒成立,

此時(shí)的最大值為:=|2a-b|﹢a;

當(dāng)b>0時(shí),在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷,

此時(shí)的最大值為:

=|2a-b|﹢a;

綜上所述:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a;

(ⅱ) 要證+|2a-b|﹢a≥0,即證=﹣≤|2a-b|﹢a.

亦即證在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,

,∴令

當(dāng)b≤0時(shí),<0在0≤x≤1上恒成立,

此時(shí)的最大值為:=|2a-b|﹢a;

當(dāng)b<0時(shí),在0≤x≤1上的正負(fù)性不能判斷,

≤|2a-b|﹢a;

綜上所述:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.

+|2a-b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a,

且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大.

∵﹣1≤≤1對(duì)x[0,1]恒成立,

∴|2a-b|﹢a≤1.

取b為縱軸,a為橫軸.

則可行域?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912470009322019/SYS201207091247332963280932_DA.files/image014.png">和,目標(biāo)函數(shù)為z=a+b.

作圖如下:

由圖易得:當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為z=a+b過P(1,2)時(shí),有,

∴所求a+b的取值范圍為:

 

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