Question

（理） 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c；則下列命題正確的是    ．
①若ab＞c²；則C＜       
②若a+b＞2c；則C＜
③若a³+b³=c³；則C＜   
④若（a+b）c＜2ab；則C＞．

Answer 1

【答案】分析：①利用余弦定理結(jié)合均值不等式．②利用余弦定理，再結(jié)合均值定理即可證明．③利用反證法，假設(shè)C≥時(shí)，推出與題設(shè)矛盾，即可證明此命題正確．④取特殊值，在滿(mǎn)足條件的情況下，判斷角C的大�。�
解答：解：①因?yàn)閍²+b²≥2ab，所以由余弦定理得，因?yàn)閍b＞c²，所以-c²＞-ab，
所以，即，所以①正確．
②a+b＞2c，所以，．所以，即，所以②正確．
③假設(shè)，則c²≥a²+b²，所以c³≥ca²+cb²＞a³+b³，與a³+b³=c³矛盾，所以假設(shè)不成立．即C＜成立．所以③正確．
④取a=b=2，c=1，滿(mǎn)足（a+b）c＜2ab得C為銳角，所以④錯(cuò)誤．
所以命題正確的是①②③．
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的知識(shí)以及余弦定理的應(yīng)用，以及不等式的證明，難度較大．