（14分）如圖7,.已知圓O：和定點(diǎn)A(2,1)，

由圓O外一點(diǎn)向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足．(1) 求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；

(2) 求線段PQ長(zhǎng)的最小值；(3) 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程．

 

 

【答案】

 

理 解：（1）連為切點(diǎn)，，由勾股定理有

.[來(lái)源:Z,xx,k.Com]

又由已知，故.

即：.

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：.  

（2）由，得.

=.

故當(dāng)時(shí)，即線段PQ長(zhǎng)的最小值為   

解法2：由(1)知，點(diǎn)P在直線l：2x + y－3 = 0 上.

∴  | PQ |min = | PA |min ，即求點(diǎn)A 到直線 l 的距離.

∴  | PQ |min = = .                         

（3）設(shè)圓P 的半徑為，

圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓O的半徑為1，

即且.

而，

故當(dāng)時(shí)，此時(shí), ，.

得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為．     

解法2： 圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓P半徑最小時(shí)為與圓O外切（取小者）的情形，而這時(shí)半徑的最小值為圓心O到直線l的距離減去1，圓心P為過(guò)原點(diǎn)與l垂直的直線l’ 與l的交點(diǎn)P0.

   

r = －1 = －1.

又  l’：x－2y = 0,

解方程組，得.即P0( ,).

∴  所求圓方程為.

【解析】略

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）如圖，∠PAQ是直角，圓O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ相交于兩點(diǎn)B，C．求證：BT平分∠OBA
（2）若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=
.
cosα-sinα
sinαcosα
.
對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣；
（3）在極坐標(biāo)系中，A為曲線ρ2+2ρcosθ-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線ρcosθ+ρsinθ-7=0上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的最小值；
（4）已知a1，a2…an都是正數(shù)，且a1•a2…an=1，求證：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖7,已知兩個(gè)以O為圓心的同心圓,AB切大圓于B,AC切小圓于C,交大圓于D、E,AB =12,AO =15,AD ＝8,則兩圓的半徑分別為　　　　　.

圖7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖7，已知兩個(gè)以O(shè)為圓心的同心圓，AB切大圓于B，AC切小圓于C，交大圓于D、E，AB=12，AO=15，AD＝8，則兩圓的半徑分別為_(kāi)_________.

         圖7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖9-7，已知圓C：x2+y2=4,A(,0)是圓內(nèi)一點(diǎn)。Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，AQ的垂直平分線交OQ于P，當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為曲線E。

（1）求曲線E的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)O作傾斜角為θ的直線與曲線E交于B1、B2兩點(diǎn)，當(dāng)θ在范圍（0，）內(nèi)變化時(shí)，求△AB1B2的面積S(θ)的最大值。

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