Question

如圖，橢圓的離心率為，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求的最大值及取得最大值時m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過橢圓的離心率，矩形的面積公式，直接求出a，b，然后求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ） 通過，利用韋達定理求出|PQ|的表達式，通過判別式推出的m的范圍，①當時，求出取得最大值．利用由對稱性，推出，取得最大值．③當-1≤m≤1時，取得最大值．求的最大值及取得最大值時m的值．
解答：解：（I）…①
矩形ABCD面積為8，即2a•2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴橢圓M的標準方程是．
（II），
由△=64m²-20（4m²-4）＞0得．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
．
當l過A點時，m=1，當l過C點時，m=-1．
①當時，有，，
其中t=m+3，由此知當，即時，取得最大值．
②由對稱性，可知若，則當時，取得最大值．
③當-1≤m≤1時，，，
由此知，當m=0時，取得最大值．
綜上可知，當或m=0時，取得最大值．
點評：本題考查橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，韋達定理以及判別式的應(yīng)用，設(shè)而不求的解題方法，考查分析問題解決問題，計算能力．