如圖,橢圓的離心率為,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標準方程;
(Ⅱ) 設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個不同的交點P,Q,l與矩形ABCD有兩個不同的交點S,T.求的最大值及取得最大值時m的值.

【答案】分析:(Ⅰ)通過橢圓的離心率,矩形的面積公式,直接求出a,b,然后求橢圓M的標準方程;
(Ⅱ) 通過,利用韋達定理求出|PQ|的表達式,通過判別式推出的m的范圍,①當時,求出取得最大值.利用由對稱性,推出取得最大值.③當-1≤m≤1時,取得最大值.求的最大值及取得最大值時m的值.
解答:解:(I)…①
矩形ABCD面積為8,即2a•2b=8…②
由①②解得:a=2,b=1,
∴橢圓M的標準方程是
(II),
由△=64m2-20(4m2-4)>0得
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則,

當l過A點時,m=1,當l過C點時,m=-1.
①當時,有,,
其中t=m+3,由此知當,即時,取得最大值
②由對稱性,可知若,則當時,取得最大值
③當-1≤m≤1時,,,
由此知,當m=0時,取得最大值
綜上可知,當或m=0時,取得最大值
點評:本題考查橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的綜合問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,韋達定理以及判別式的應(yīng)用,設(shè)而不求的解題方法,考查分析問題解決問題,計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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1)求、的方程;

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如圖,橢圓的離心率為,軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。軸的交點為,過坐標原點的直線相交于點,直線分別與相交于點

(1)求、的方程;

(2)求證:

(3)記的面積分別為,若,求的取值范圍。

 

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(本小題滿分12分)如圖,橢圓的離心率為,直線所圍成的矩形ABCD的面積為8.

 

(Ⅰ)求橢圓M的標準方程;

(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

 

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如圖,橢圓的離心率為,直線所圍成的矩形ABCD的面積為8.

(Ⅰ)求橢圓M的標準方程;

(Ⅱ) 設(shè)直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

 

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