Question

15．已知曲線f（x）=ae^x-x+b在x=1處的切線方程為y=（e-1）x-1
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：x＞0時，$\frac{x}{f（x-1）+x}$＜exlnx+2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程，根據(jù)系數(shù)對應相等，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）問題等價于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$，分別令g（x）=xlnx，h（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=ae^x-1，f（1）=ae-1+b，f′（1）=ae-1，
故切線方程是：y-ae+1-b=（ae-1）（x-1），
即y=（ae-1）+b=（e-1）x-1，
故a=1，b=-1，
故f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_極小值=f（0）=0；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）f（x-1）+x=e^x-1，
故問題等價于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$
設函數(shù)g（x）=xln x，
則g′（x）=1+ln x，
所以當x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，g′（x）＜0；
當x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
設函數(shù)h（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，則h′（x）=e^-x（1-x）．
所以當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-$\frac{1}{e}$；
因為g_min（x）=h（1）=h_max（x），
所以當x＞0時，g（x）＞h（x），
故x＞0時，$\frac{x}{f（x-1）+x}$＜exlnx+2．

點評 本題考查了切線方程問題，考查導數(shù)的應用，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，是中高檔題．