Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：①對函數(shù)進行求導，然后令導函數(shù)大于0求出x的范圍，令導函數(shù)小于0求出x的范圍，即可得到答案；
②由函數(shù)f（x）在x=1處取得極值求出a的值，再依據(jù)不等式恒成立時所取的條件，求出實數(shù)b的取值范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）在區(qū)間（0，+∞）上，．…（1分）
①若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）是區(qū)間（0，+∞）上的減函數(shù)；     …（3分）
②若a＞0，令f^′（x）=0得x=．
在區(qū)間（0，）上，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
在區(qū)間上，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
綜上所述，①當a≤0時，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞），無遞增區(qū)間；
②當a＞0時，f（x）的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．…（6分）
（II）因為函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，所以f^′（1）=0
解得a=1，經(jīng)檢驗滿足題意．…（7分）
由已知f（x）≥bx-2，則       …（8分）
令，則      …（10分）
易得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，…（12分）
所以g（x）_min=，即．                   …（13分）
點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．
會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．