Question

4．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∠AA₁B=∠AA₁C₁=60°，∠BB₁C₁=90°，側(cè)棱長AA₁=3．
（1）求此三棱柱的表面積；
（2）若${V_{棱柱}}={S_{△{B_1}D{C_1}}}•A{A_1}$，求三棱柱的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面積公式求出上下底面的面積，由平行四邊形面積公式求出側(cè)面ABB₁A₁和ACC₁A₁的面積，再由矩形面積公式求出側(cè)面BCC₁B₁的面積得答案；
（2）由${V_{棱柱}}={S_{△{B_1}D{C_1}}}•A{A_1}$，可得AA₁⊥平面B₁DC₁，由已知求解直角三角形可得等腰三角形B₁DC₁的邊長，進一步求其面積，代入棱柱體積公式得答案．

解答 解：（1）由題意知，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是一個等腰直角三角形，且AB=AC=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，
∴${S}_{△ABC}={S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∵∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，AB=AC=2，AA₁=3，
∴${S}_{四邊形AB{B}_{1}{A}_{1}}={S}_{四邊形AC{C}_{1}{A}_{1}}$=$2×3×sin60°=3\sqrt{3}$，
又∵∠BB₁C₁=90°，∴側(cè)面BB₁C₁C為矩形，
∴${S}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}=3×2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$．
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積S=$2×2+2×3\sqrt{3}+6\sqrt{2}=4+6（\sqrt{2}+\sqrt{3}）$；
（2）由題意，得AA₁⊥平面B₁DC₁，
∵B₁D?平面B₁DC₁，∴AA₁⊥B₁D，
又∵∠DA₁B₁=60°，A₁B₁=2，∴${B}_{1}D=\sqrt{3}$，同理$D{C}_{1}=\sqrt{3}$，
∴${V}_{棱柱}={S}_{△{B}_{1}D{C}_{1}}•A{A}_{1}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3-2}×3=3\sqrt{2}$．

點評 本題考查柱、錐、臺體表面積與體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．