【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知?jiǎng)又本�過點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證；

（3）在（2）的條件下，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）存在；直線

【解析】

（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得的值，從而求得拋物線的方程；

（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)利用拋物線的對(duì)稱性可使問題得證，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，然后聯(lián)立拋物線的方程，從而利用韋達(dá)定理與斜率公式可使問題得證；

（3）首先設(shè)直線滿足題意，由此得到圓心的坐標(biāo)，然后過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，從而根據(jù)求出的值，使問題得解.

解：（1）設(shè)拋物線的方程為

由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為

∴

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設(shè)，

由為的中點(diǎn)，得點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)垂直于軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性知；

當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)

由，

∴

∵，，

∴

∴.

（3）設(shè)存在直線滿足題意

由（2）知圓心，過作直線的垂線，垂足為，則

設(shè)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為，連接，則

即

.

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值，因此存在直線滿足題意.

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【題目】2019年底，武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國(guó)家衛(wèi)健委緊急部署，從多省調(diào)派醫(yī)務(wù)工作者前去支援，正值農(nóng)歷春節(jié)舉家團(tuán)圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認(rèn)為“確診患者的密切接觸者”，現(xiàn)醫(yī)護(hù)人員要對(duì)這5人隨機(jī)進(jìn)行逐一“核糖核酸”檢測(cè)，只要出現(xiàn)一例陽性，則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”．假設(shè)每人被確診的概率均為且相互獨(dú)立，若當(dāng)時(shí)，至少檢測(cè)了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值，則____．

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【題目】若數(shù)列滿足“對(duì)任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.已知數(shù)列為無窮數(shù)列.

（1）若為等比數(shù)列，且，判斷數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；

（2）若為等差數(shù)列，且公差，求證：數(shù)列不具有“性質(zhì)”；

（3）若等差數(shù)列具有“性質(zhì)”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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【題目】已知六面體如圖所示，平面，，，，，，是棱上的點(diǎn)，且滿足.

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的正弦值.

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【題目】若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的任意兩項(xiàng)均不相等，且的定義域?yàn)?/span>；②數(shù)列的前的項(xiàng)的和對(duì)任意的都成立，則稱與具有“共生關(guān)系”．

（1）若，試寫出一個(gè)與數(shù)列具有“共生關(guān)系”的函數(shù)的解析式；

（2）若與數(shù)列具有“共生關(guān)系”，求實(shí)數(shù)對(duì)所構(gòu)成的集合，并寫出關(guān)于，，的表達(dá)式；

（3）若，求證：“存在每項(xiàng)都是正數(shù)的無窮等差數(shù)列，使得與具有‘共生關(guān)系’”的充要條件是“點(diǎn)在射線上”．

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【題目】已知數(shù)列{an}滿足．

（1）求a1，a2，a3的值；

（2）對(duì)任意正整數(shù)n，an小數(shù)點(diǎn)后第一位數(shù)字是多少？請(qǐng)說明理由．

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【題目】已知為拋物線的焦點(diǎn)，為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)，，，有以下個(gè)結(jié)論：

①的最大值是；②；③存在點(diǎn)，滿足.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.

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【題目】如圖所示，已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面，且.

（1）證明：平面；

（2）若，求異面直線與所成角的余弦值.

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（Ⅰ）求切線l的方程；

（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式k[ef（x）]≥g（x）對(duì)任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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