Question

已知函數(shù)f（x）=1-

2

ax+ a 2

（a＞0，a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)
（1）求a的值；
（2）用定義法證明f（x）在定義域R上單調(diào)遞增；
（3）解不等式f（x²-2）+f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)，知f（0）=0，解得a的值；
（2）用定義法證明f（x）在定義域上的增減性時，要按照步驟“一取值，二作差，三判正負，四定結論”完成；
（3）由f（x）是奇函數(shù)又是增函數(shù)，把原不等式轉(zhuǎn)化為一般形式，解得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即1-

2

a0+ a 2

=0，∴a=2；∴f（x）=1-

2

2x+1

；
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1

）-（1-

2

2x2

）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

；
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定義域R上是增函數(shù)；
（3）∵f（x）是奇函數(shù)，且不等式f（x²-2）+f（x）＞0，∴f（x²-2）＞f（-x）；
又∵f（x）是增函數(shù)，∴x²-2＞-x，解得x＞1或x＜-2；
∴原不等式的解集是{x|x＞1或x＜-2}．

點評：本題考查了定義域為R的奇函數(shù)f（0）=0以及用定義法證明函數(shù)的增減性問題，利用函數(shù)的增減性解答簡單的不等式問題，是中檔題．