Question

（2012•安徽模擬）如圖，已知三點(diǎn)A，B，E在平面α內(nèi)，點(diǎn)C，D在α外，并且AC⊥α，DE⊥α，BD⊥AB．若AB=3，AC=BD=4，CD=5，則BD與平面α所成的角等于（　�。�

A．30°

B．45°

C．60°

D．16°

Answer 1

分析：根據(jù)DE⊥α，可得∠DBE是直線BD與平面α所成的角，然后過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，連接AD，AE，可以證明出四邊形AEDF為矩形，從而DE=AF．接下來(lái)用勾股定理計(jì)算出AD=5=CD，從而得到DF是△ACD的中線，即AF=CF=

1

2

AC=2，最后在Rt△BDE中，利用三角函數(shù)的定義得到sin∠DBE=

DE

DB

=

1

2

，所以∠DBE=30°，可得直線BD與平面α所成的角等于30°．

解答：解：∵DE⊥α，
∴BE即為BD在平面α內(nèi)的射影，
可得∠DBE是直線BD與平面α所成的角
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，連接AD，AE
∵AC⊥α，DE⊥α，
∴AC∥DE，且∠AED=∠FAE=∠DFA=90°
可得四邊形AEDF為矩形
∴DE=AF
∵BD⊥AB
∴Rt△ABD中，AD=

AB2+BD2

=

32+44

=5
∵△ACD中，CD=AD=5
∴DF是中線，即AF=CF=

1

2

AC=2
∴Rt△BDE中，BD=4，DE=2
可得sin∠DBE=

DE

DB

=

1

2

∴∠DBE=30°，即直線BD與平面α所成的角等于30°
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題借助于求一條直線與一個(gè)平面所成角為載體，考查了直線與平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成角的定義和直角三角形中求三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．