Question

已知曲線C：y=x²+x
（1）求在x=1處的切線方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)P（1，1）的切線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）欲求在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵y=x²+x，
∴y′=2x+1，當(dāng)x=1時(shí)，y'=3得切線的斜率為3，
∴曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為：y-2=3（x-1），即3x-y-1=0．
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
則f′（a）=2a+1，f（a）=a²+a=b，
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-（a²+a）=（2a+1）（x-a），
∵切線過(guò)點(diǎn)P（1，1），
∴1-（a²+a）=（2a+1）（1-a），
∴a²-2a=0，解得a=0或a=2，
當(dāng)a=0時(shí)，切線方程為y=x，
當(dāng)a=2時(shí)，切線方程為y=5x-4，
故過(guò)點(diǎn)P（1，1）且與曲線C相切的切線l的方程為y=x或y=5x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)的切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵，注意過(guò)點(diǎn)的切線和在點(diǎn)的切線之間的區(qū)別．